在研究生入學(xué)考試中，高等數(shù)學(xué)是數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三考試的公共內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)包含函數(shù)極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、常微分方程和無(wú)窮級(jí)數(shù)等七個(gè)模塊。
今天我們要梳理的內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分，屬于一元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容。一元函數(shù)微分學(xué)包含導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三方面內(nèi)容，接下來(lái)我們對(duì)這一部分的考試內(nèi)容，考試要求及?？碱}型來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。
1、考試內(nèi)容
(1)導(dǎo)數(shù)和微分的概念;
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義;
(3)函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系;
(4)平面曲線的切線和法線;
(5)導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算;
(6)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
(7)復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法;
(8)高階導(dǎo)數(shù);
(9)一階微分形式的不變性;
(10)微分中值定理;
(11)洛必達(dá)法則;
(12)函數(shù)單調(diào)性的判別;
(13)函數(shù)的極值;
(14)函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線;
(15)函數(shù)圖形的描繪;
(16)函數(shù)的最大值和最小值;
(17)弧微分、曲率的概念;
(18)曲率圓與曲率半徑(其中16、17只要求數(shù)一、數(shù)二考試掌握，數(shù)三考試不要求)。
2、考試要求
(1)理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系;
(2)了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量(數(shù)一、數(shù)二要求，數(shù)三不要求);
(3)掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分;
(4)了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù);
(5)會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù);
(6)理解并會(huì)用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會(huì)用柯西(Cauchy)中值定理;
(7)掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法;
(8)理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用;
(9)會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形;
(10)了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑(數(shù)一、數(shù)二要求、數(shù)三不要求)。
3、常考題型
(1)導(dǎo)數(shù)定義;
(2)求顯函數(shù)、隱函數(shù)、分段函數(shù)、積分上限函數(shù)、冪指函數(shù)等各種類型的導(dǎo)數(shù)與微分;
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式;
(4)求函數(shù)的極值與最值;
(5)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線;
(6)證明函數(shù)不等式;
(7)方程根的存在性與個(gè)數(shù);
(8)洛必達(dá)法則求函數(shù)極限;
(9)用介值定理、零點(diǎn)定理、羅爾定理、拉格朗日中值定理證明不等式。
4、復(fù)習(xí)建議
(1)加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)概念的理解
加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)概念的理解是學(xué)習(xí)這一部分的關(guān)鍵。原因有兩個(gè)：第一：導(dǎo)數(shù)這章內(nèi)容相對(duì)比較簡(jiǎn)單。比如求導(dǎo)公式，大家在高中就接觸過(guò)。
第二：考研中考得最多的就是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解以及對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中極值概念的理解。比如在求分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求，同學(xué)們就經(jīng)常直接求一側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再算極限，而這種情況只有建立在導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的基礎(chǔ)上才成立。從這些概念本身來(lái)看，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，但是考法卻是比較深入。所以，希望同學(xué)們要加深對(duì)本章概念的理解，千萬(wàn)不要一知半解就開(kāi)始盲目的做題。
(2)加強(qiáng)對(duì)?？键c(diǎn)的掌握
具體來(lái)說(shuō)，分為三個(gè)章節(jié)。第一部分：可導(dǎo)與可微。其中導(dǎo)數(shù)定義是重點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的定義幾乎是每年必考，而且考察的往往都是變形的形式，但實(shí)質(zhì)上都是在考察對(duì)極限的理解。
第二部分：導(dǎo)數(shù)計(jì)算。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是重點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上掌握冪指函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)及參數(shù)方程求導(dǎo)。在高階導(dǎo)數(shù)部分，大家要掌握常見(jiàn)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的六大公式及萊布尼茲公式。
第三部分：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。其中極值本身的概念也是一個(gè)很大的考點(diǎn)，包括極值的必要的條件以及極值的第一和第二充分條件。每年考研都會(huì)有一些相關(guān)的選擇題。同理，題目考察拐點(diǎn)的時(shí)候，同時(shí)也考察了凹凸性，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性等概念。因此，拐點(diǎn)的概念是考察的一個(gè)方向，同時(shí)拐點(diǎn)的必要條件及第一和第二充分條件也是重要考點(diǎn)。
請(qǐng)大家注意：只要學(xué)好極值及單調(diào)性，相應(yīng)的凹凸性和拐點(diǎn)也可以類比遷移;極值研究的是一階導(dǎo)的正負(fù)號(hào)，相應(yīng)的凹凸性研究的是二階導(dǎo)的正負(fù)號(hào)。
(3)多練題，提高計(jì)算能力
在大家理解了重點(diǎn)知識(shí)以及明確了考試重點(diǎn)之后，接下來(lái)就需要做題鞏固了。針對(duì)考試要求的每個(gè)考點(diǎn)進(jìn)行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個(gè)題要掌握這道題的解題思路，基本就是從已知條件怎么找到聯(lián)系結(jié)果的突破點(diǎn);另外對(duì)于每一類題型要做到勤總結(jié)，多整理錯(cuò)題本，以便每次回顧使用。
以上是考研小編為大家整理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，希望對(duì)大家今年的高數(shù)復(fù)習(xí)更有幫助。了解更多考研數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，可以多多關(guān)注考研網(wǎng)站。
