2023考研備考已進入沖刺階段，考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)也已進入最后沖刺階段，學(xué)姐給大家整理了2023考研數(shù)學(xué)定積分與不定積分的知識點，幫助大家熟練掌握重難點，在最后的沖刺階段也可以更有效的復(fù)習(xí)備考，一起來看看吧。
一、不定積分
1、原函數(shù)存在定理
•定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對任一x∈l都有F'(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
•分部積分法
如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對數(shù)和反三角函數(shù)為u。
2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。
二、定積分
1、定積分解決的典型問題
(1)曲邊梯形的面積（2)變速直線運動的路程
2、函數(shù)可積的充分條件
•定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a上]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。
•定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積
3、定積分的若干重要性質(zhì)
•性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
•推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx
•推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx
•性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)≤dx≤M(b-a),該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。
•性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在點ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a)。
4、關(guān)于廣義積分
設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)剛[a,b]上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而在點c的鄰域內(nèi)無界，如果兩個廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂，則定義∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx,否則(只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。
三、定積分的應(yīng)用
求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）
•直角坐標(biāo)系下（含參數(shù)與不含參數(shù)）
•極坐標(biāo)系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
•旋轉(zhuǎn)體體積（由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲線的方程）
•平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積）
•功、水壓力、引力
•函數(shù)的平均值（平均值y=l/(b-a)*∫abf(x)dx)
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